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高中数学关于双曲线的经典试题

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  高中数学经典试题:已知双曲线C的中点在原点,焦点在x轴上,点P(-2,0)与其渐进线的距离为(根号10)/5,过P作斜率为1/6的直线交双曲线于A,B两点,交y轴于点M,且PM是PA与PB的等比中项.

  ⑴求双曲线C的渐进线方程

  ⑵求双曲线C的方程

  高中数学经典试题答案

  第一问设渐近线方程为y=±kx,利用点到直线的距离,求出k=±1/3,可求得渐近线方程为y=±1/3x,

  第二问解答如下

  设:A(x1,y1)B(x2,y2)

  直线为y=(1/6)*(x+2),与y轴相交,即x=0时y=1/3

  所以M(0,1/3)

  |PM|是|PA|与|PB|的等比中项,即|PA|:|PM|=|PM|:|PB|

  画个图可知他们是相似三角形

  所以有:|y1|:(1/3)=(1/3):|y2|

  由于A、B必在x轴的两侧,所以y1,y2其中的一个必是负的

  因此上式整理为:1/9=-y1*y2

  再把直线和双曲线联立解方程组,要消x留y

  其中双曲线的a=3b

  得到一个关于y的一元二次方程

  过程我省略了,方程是:27y^2-24y+4-b^2=0

  则y1*y2=(4-b^2)/27

  因此b^2=5

  则a^2=45

  方程就求出来了

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